こんんちは！maroです。
ある日、SNSである投稿を発見しました。
y=sinθ-√3cosθの最大値と最小値を求めよ
あれ、高校の時のこんなあった気がするぞ・・・？
全然解き方が分からん・・・。
私は高校時代勉強が全然好きではなかったのですが、この問題が気になったので調べて解いてみようと思いました。心理学とは関係ありませんが笑。
説いてみた
では早速解いてみようと思うですが、そもそも
「sinθとcosθってそういえば何だっけ？」
問題解く以前にまず理解してみようと調べてみました。
調べてみたら以下のような画像が出てきました。
(引用：https://www.meikogijuku.jp/meiko-plus/study/trigonometric-function.html)
sinθとcosθは、
直径が1の円(単位円)において、角度をθとしたとき、
x座標をcosθ、y座標をsinθとするようです。
(x,y)=(2,3)みたいな感覚で、
(x,y)=(cosθ,sinθ)みたいな感じですかね。
でも、最大・最小を求めるにはどうすればいいんだ？
どうやら、
y=Rsin(θ-α)
の形に変形させる必要があるみたいです。なぜだ？
ちょっとGeminiに聞いてみたら、こんな回答が返ってきました。
一言でいうと、合成をする理由は「バラバラに動く2つの変数を、1つにまとめて主導権を握るため」です。
cosθとsinθは、同じθというひとつの変数によって、連動して動く性質を持っています。
sinθを大きくしようとして θを動かすと、cosθも勝手に動いてしまう。
逆に cosθを都合の良い値にしようとすると、今度は sinθがズレてしまう。このように、2つの波が引き引き合っている状態のままでは、「全体としてどこが一番高くなる（低くなる）のか」が人間の目には見えなくなっているのです。
なるほど！めちゃくちゃ分かりやすい回答が返ってきました。
今の高校生はわからないことはAIに聞きながら勉強してるんですかね？
さっそくやってみようと思いますが、ここでも
「どうやって式変形するんだ？」
となりました。
どうやら、変形するための公式があるようです。
なんかみたことがある気がするぞ！！(蘇るいにしえの記憶)
なるほど、今回のsinθ-√3cosθに当てはめると、
a=1、b=-√3なので、
sinθ-√3cosθ=2sin(θ+α)
と変形することができました！
で、また次の疑問が登場します。
αとは何だ？どうやって求めるんだ？
調べてみたら、懐かしい語呂合わせとともに三角関数では欠かせないあの公式を用いるそうです。
そう、加法定理！！
加法定理の公式は以下です。
(引用：https://alpha-katekyo.jp/tips/tips120/)
「咲いたコスモスコスモス咲いた」なんて覚えましたね・・・
2sin(θ+α)を加法定理を用いると、
2(sinθcosα+cosθsinα)=2sinθcosα+2cosθsinα
となります。
問題の式sinθ-√3cosθと比較すると、
2cosα=1
2sinα=-√3 より、
cosα=1/2
sinα=-√3/2 つまり、
x座標が1/2、y座標-√3/2になるような値αは何ですか？
ということになりますね！
有名角の値を覚えていればすぐに出ると思うのですが、
案の定完全に忘れているので定義から思い出していきます。
三角比は以下の定義で導出します。
(引用：https://www.koubunkan-n.jp/news/trigonometric-ratio/)
そして、60度は以下の値です。
今回は、cosα=1/2・sinα=-√3/2でy座標のsinの値がマイナスになっているだけなので、
線分BCを軸として対象にしたようなイメージですね！
となると、角度θは1周360度から60度分戻っていると考えられるので、
θ=360-60=300
πを用いて表すと、
-π/3になりますね！
よって、y=sinθ-√3cosθをsinθのみで表現するように変形すると、
となります。よし、もう少しだ！
次はsinのとりうる範囲を考えます。
今回は特に範囲は指定されていないとし、θは全ての実数を取りうるものと考えます。
おさらいですが、
sinθは半径1の単位円における、角度θの時のy座標になるので
最大は1(θが90のとき)、最小は−1(θが270のとき)になります。
よって、
になります。
あとは、全ての辺を２倍してあげればよいので、
最小は−2、最大は2になります。
思い出したぞ解き方を！！！
久しぶりに数学をやりましたが、あれ、意外と面白いぞ！
学生時代は勉強が好きではなかったのですが不思議ですね・・・。
今になって英語とかやってみても楽しいかも？
そして今回は、ネットで調べたりGeminiに聞いてみたりしたのですが、
Geminiが優秀すぎてびっくりです。
学生時代にこうやって生成AIに聞きながら勉強できれば成績が上がったんですかね笑。
たまに心理学とは全く関係ないやつを投稿するかもしれませんがよろしくお願いします！
ではまた！
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